1. این پایگاه به ثبت ستاد ساماندهی وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامی ایران رسیده است.

    مهمان عزیز سپاس بابت بازدید شما از تالار گفتگوی دهه هفتادی ها.

    عضویت در انجمن رایگان بوده و برای عموم باز میباشد . با صرف 30 ثانیه یکی از اعضای دهه هفتادی ها شوید .

ریشه یابی معادلات

شروع موضوع توسط H@M!N ‏Dec 6, 2013 در انجمن رشته های علوم پایه و انسانی

  1. H@M!N

    H@M!N

    577
    915
    244
    ریشه یابی معادلات روشهای یافتن ریشه های یک معادله ( The roots of an equation ) یعنی نقاط تلاقی نمودار آن معادله با محورهای مختصات میباشد. به طور معمول از آن جا که توابع را در حالت استاندارد y نسبت به x تعریف میکنند، ریشههای یک معادله را نقاط برخورد معادله با محور xها در نظر میگیرند.

    برای مثال ریشههای معادله ی فرضی axn + bxn − 1 + cxn − 2 + .... + C = y نسبت به محور xها در واقع مجموعهای از نقاط اشتراک نمودار معادله با محور xها میباشد و چون آن نقاط بر روی محور xها واقع میباشند یعنی دارای عرض صفر هستند ، بدین منظور باید مقدار x را در معادله ای که عرض ( y ) آن صفر است درآوریم.

    حل معادله درجهٔ اول

    برای پیدا کردن ریشههای x یک معادله ی درجه اول باید مقدار x را از حالت کلی معادلات درجه اول به دست آوریم. حالت کلی معادلات درجهٔ اول برابر y2 − y1 = mx میباشد که در آن y2 عرض اصلی ، y1 عرض اولیه ، m شیب نمودار و x متغیر طول نمودار میباشد ، همچنین در اکثر منابع شکل اصلی معادلات درجهٔ اول به صورت y = mx + h نمایش داده میشود که در آن h همان عرض اولیه است که به اختصار از کلمهٔ height استفاده میشود

    روش حل معادلات درجهٔ اول بدین گونه است :

    چون می خواهیم نقاط تلاقی نمودار با محور x ها را پیدا کنیم عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم و داریم :

    mx + h = 0

    با حل معادله ی فوق به ترتیب زیر مقدار x را بدست می آوریم :

    mx = − h

    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید



    و می بینیم که مقدار x همواره برابر است با حاصل تقسیم عرض از مبداً معادله بر شیب آن. بنابراین هنگامی که عرض از مبداً معادله صفر باشد ریشهٔ معادله نیز صفر است و نمودار معادله از مبداً مختصات خواهد گذشت.


    حل معادلات درجهٔ دوم

    همانند حل معادلات درجهٔ اول برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور x ها صورت کلی معادلات درجه دوم را نوشته و عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم ، پس داریم :

    ax2 + bx + c = 0

    با حل معادله ی فوق مقادیر x را بدست می آوریم ، توجه کنید که a برابر با صفر نمیتواند باشد چون در این صورت معادله از نوع درجه اول میشود. پس با شرط a≠0 معادله را حل می کنیم :


    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید



    اگر ضرب چند عبارت برابر با صفر باشد پس حداقل یکی از آن ها صفر است ، از آنجا که a بنا بر شرط اولیه نمیتواند صفر باشد پس عبارت داخل پرانتر صفر میباشد ، پس داریم :

    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید



    برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل می کنیم :

    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید



    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید



    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید



    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید



    حالا از طرفین معادله جذر می گیریم تا مقدار x را درآوریم :

    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید



    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید



    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید



    در نتیجه معادله دارای 2 ریشهٔ زیر میباشد:

    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید



    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید




    معمولاً عبارت

    برای مشاهده لینک ها لطفا ثبت نام کنید و یا اگر حساب کاربری دارید وارد شوید

    را برابر با حرف دلتای بزرگ Δ نمایش میدهند، دلتا در ریاضیات نماد فاصله یا تغییرات است.


    طبق قضیهٔ تثلیث دلتا میتواند مقادیر زیر را اختیار کند :

    1 - Δ > 0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه مثبت است ، پس معادله دو ریشهٔ مختلف دارد

    2 - Δ = 0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه صفر است ، پس هر دو جواب معادله یکی هستند و معادله اصطلاحاً ریشهٔ مضاعف دارد

    3 - Δ < 0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه عددی منفی است و همانطور که می دانید فاصله عددی منفی نمیتواند باشد ، از سوی دیگر از آنجا که Δ در زیر رادیکالی با فرجهٔ زوج است تنها میتواند مقادیر بزرگتر یا مساوی صفر را اختیار کند
     
    !!HISS!! از این پست تشکر کرده است.