1. این پایگاه به ثبت ستاد ساماندهی وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامی ایران رسیده است.

    مهمان عزیز سپاس بابت بازدید شما از تالار گفتگوی دهه هفتادی ها.

    عضویت در انجمن رایگان بوده و برای عموم باز میباشد . با صرف 30 ثانیه یکی از اعضای دهه هفتادی ها شوید .

تاریخچه ی هندسه

شروع موضوع توسط M.G.Captain ‏Jul 20, 2014 در انجمن رشته های علوم پایه و انسانی

  1. M.G.Captain

    M.G.Captain تو ای خاتون من ؛تن خسته مرا دریاب M&A عضو کادر مدیریت مدیر ارشد

    10,776
    29,242
    164,452
    به نام نامی الله

    مقدمه
    انسان اوليه نسبت به اعداد بيگانه بود و شمارش اشياء اطراف خود را به حسب غريزه يعني همان طور که مثلاً مرغ خانگي تعداد جوجه ‌هايش را مي‌ داند انجام مي ‌داد. اما بزودي مجبور شد وسيله شمارش دقيق تري بوجود آورد. لذا، به کمک انگشتان دست دستگاه شماري پديد آورد که مبناي آن 60 بود. اين دستگاه شمار که بسيار پيچيده مي ‌باشد قديمي ‌ترين دستگاه شماري است که آثاري از آن در کهن‌ ترين مدارک موجود يعني نوشته‌ هاي سومري مشاهده مي‌ شود. سومري ها که تمدن شان مربوط به حدود هزار سال قبل از ميلاد مسيح است در جنوب بين ‌النهرين، يعني ناحيه بين دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آن ها در حدود 2500 سال قبل از ميلاد با امپراطوري سامي، عکاد متحد شدند و امپراطوري و تمدن آشوري را پديد آوردند. در اين موقع مصري ها نيز در سواحل سفلاي رود نيل تمدني درخشان پديد آورده بودند. طغيان رود نيل هر سال حدود و ثغور زمين هاي زراعتي اين قوم را محو مي‌ کرد. احتياج به تقسيم مجدد اين اراضي موجب رهبري آن ها به اولين احکام سادة هندسي گرديد. هم چنين مبادلات تجارتي و تعيين مقدار باج و خراج ساليانه آن ها را وادار به توسعه علم حساب نمود اين اطلاعات همگي از روي پاپيروس ها و الواحي است که در نتيجه حفاري ها بدست آمده و به خط هيروگليفي مي ‌باشد. قديمي ‌ترين آن ها که مربوط به 1800 سال قبل از ميلاد است شامل چند رساله درباره علم حساب و مسائل حساب مقدماتي مي ‌باشد، از آن جمله رساله پاپيروس آهس است که درسال 1868 توسط ايسنلر مصرشناس مشهور ترجمه شد.
     
    Admin از این پست تشکر کرده است.
  2. M.G.Captain

    M.G.Captain تو ای خاتون من ؛تن خسته مرا دریاب M&A عضو کادر مدیریت مدیر ارشد

    10,776
    29,242
    164,452
    ساير تمدن هاي شرقي نظير چيني و هندي در ترويج دانش نقش مؤثري نداشته‌اند و جز برخي نتايج پراکنده که در زير فشار مفاهيم ماوراءالطبيعه خرد شده است چيزي از آنان در دست نيست. قريب هزار سال پس از نابودي فرهنگ قديم مصر و محو تمدن آَشور، يونانيان از روي مقدمات پراکنده و بي‌ شکل آن ها علمي پديد آوردند که در واقع به عالي ترين وجه مرتب و منظم گرديده و عقل و منطق را کاملاً اقناع مي ‌نمود. نخستين دانشمند معروف يوناني طالس ملطلي(639_548ق. م) است که در پيدايش علوم نقش مهمي بعهده داشته و مي‌ توان ويرا موجد علوم فيزيک، نجوم و هندسه«تشابه» به او کاملاً بي ‌اساس است. در اوايل قرن ششم(ق. م) فيثاغورث(572_500 قبل از ميلاد) از اهالي ساموس يونان کم‌کم رياضيات را بر پايه و اساسي قرار داد و به ايجاد مکتب فلسفي خويش همت گماشت. فيثاغورثيان عدد را بخاطر هم‌آهنگي و نظمي که دارد اساس و مبدأ همه چيز مي ‌پنداشتند و بر اين عقيده بودند که تمام مفاهيم را به کمک آن مي ‌توان بيان نمود. پس از فيثاغورث بايد از زنون فيلسوف و رياضيدان يوناني که در490(ق.م) در ايليا متولد شده است نام ببريم. در اوايل نيمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالي کيوس فضاهايي متفرق آن زمان را گردآوري کرد و در حقيقت همين قضايا است که مباني هندسه جديد ما را تشکيل مي ‌دهند. در قرن چهارم قبل از ميلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبي ايجاد کرد که نه قرن بعداز او نيز هم چنان برپا ماند. وي رياضيات مخصوصاً هندسه را بسيار عزيز مي ‌داشت، تا جائي که بر سر در مکتب خود اين جمله را حک کرده بود: «هر کس هندسه نمي ‌داند به اين جا قدم نگذارد». اين فيلسوف بزرگ به تکميل منطق که رکن اساسي رياضيات است همت گماشت و چندي بعد منجم و رياضيدان معاصر وي ادوکس با ايجاد تئوري نسبت ‌ها نشان داد که کميات اندازه نگرفتني که تا آن زمان در مسير علوم رياضي گودالي حفر کرده بود هيچ چيز غير عادي ندارد و مي‌ توان مانند ساير اعداد قواعد حساب را در مورد آن ها بکار برد. در اين احوال اسکندر کشورها را يکي پس از ديگري فتح مي ‌کرد و هر جا را که بر روي آن انگشت مي ‌نهاد مرکزي از براي پيشرفت تمدن يوناني مي ‌شد.
    پس از مرگ اين فاتح مقتدر در(323ق. م) و تقسيم امپراطوري عظيم او، مصر بدست بطليموس افتاد و امپراطوري بطالسه را تشکيل داد. بطالسه که اسکندريه را به پايتختي برگزيده بودند تمام دانشمندان را بدان جا پذيرفتند و همين دانشمندان در صدد ايجاد کتابخانه بزرگي در اين شهر ساحلي برآمدند و به توسعه و تکميل آن همت گماشتند. اکنون به زماني رسيده‌ايم که بايستي آن را عصر طلائي رياضيات يونان ناميد. اهميت فوق‌العاده اين دوره به سبب ظهور سه عالم بزرگ رياضي يعني اقليدس، ارشميدس و آپولونيوس است که هم در دوران خود و هم براي قرون بعد از خويش شهرتي عالمگير کسب نمودند. در قرن دوم(ق.م) نام تنها رياضيداني که بيش از همه تجلي داشت ابرخس يا هيپارک بود. اين رياضيدان و منجم بزرگ که بين سال هاي(161تا 126ق. م) در رودس متولد شد گام هاي بلند و استادانه‌اي در علم نجوم برداشت و مثلثات را نيز اختراع کرد. هيپارک نخستين کسي بود که تقسيم‌ بندي معمولي بابلي ها را براي پيرامون دايره پذيرفت. به اين معني که دايره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقيقه و دقيقه را نيز به 60 قسمت برابر تقسيم نمود و جدولي تابع شعاع دايره بدست آورد که وترهاي بعضي از قوس ها را مي ‌داد و اين قديمي ‌ترين جدول مثلثاتي است که تا کنون شناخته شده است. در سال(47 ق. م) که ژول سزار نيروي دريايي مصر را آتش زد، در کتابخانه بزرگ اسکندريه نيز حريقي ايجاد شد که قسمت اعظم آن را نابود ساخت. بالاخره در سال(30ق. م) به هنگام امپراطوري ملکه کلئوپاترا کشور مصريکي از ايالات امپراطوري روم شد. در اين دوره کوتاه از کشفيات جديد خبري نبود و دانشمندان متوسطي نظير بطليموس، منلائوس و باپوس نيز که ظهور کردند تنها به تعليم و انتشار آثار قدما اکتفا نمودند.
     
    Admin از این پست تشکر کرده است.
  3. M.G.Captain

    M.G.Captain تو ای خاتون من ؛تن خسته مرا دریاب M&A عضو کادر مدیریت مدیر ارشد

    10,776
    29,242
    164,452
    بطليموس که به احتمال قوي با امپراطوران بطالسه هيچ گونه ارتباطي ندارد در تعقيب افکار هيپارک کوشش بسيار کرد. کتاب مشهور او به نام اصلي«ترکيب رياضي» شامل يک دستگاه هيأت بيان حرکت دوراني اجسام سماوي و يک دوره کامل مثلثات کروي و مستقيم‌الخط و توضيح و محاسبه نمودهاي حرکت بومي است. اين کتاب را درسال 827 از يوناني به عربي ترجمه کردند و نام آن را مجسطي يعني«بسيار بزرگ» نهادند و از آن پس به همين نام باقي ماند. منلائوس که در اواخر قرن اول ميلادي در اسکندريه مي ‌زيست به امر امپراطور دومي سين کتابي تأليف کرد که قضيه معروف منلائوس درباره چهارضلعي محاطي در آن ذکر شده است. پاپوس که دوره زندگانيش در حدود 350 ميلادي بوده است داراي کتابي است به نام«مجموعه رياضيات». هدف وي از تدوين اين کتاب آن بوده است که به اختصار نتايجي را که از بدو پيدايش علم هندسه تا آن زمان حاصل شده بود براي خود بيان نمايد. با اين حال در موارد بسيار احکام جديد و جالبي که از اکتشافات خودش مي ‌بود و بر آن افزود. مسأله معروف پاپوس که در همه کتاب هاي هندسه ما وجود دارد و قضيه بسيار مهم تعيين مرکز نقل سطوح و احجام که برخلاف واقع آن را به گولدن نسبت داده‌اند. در اين احوال هندوستان به منزله يک مرکز جديد روشنفکري توسعه مي ‌يافت و چنين به نظر مي‌ رسيد که علم بدان جا فرار کرده و يا به عبارت بهتر فقط آن جا را مقام خود ساخته است. زيرا سابق براين در زمان يوناني ‌ها نيز در آن جا وجود داشته است. علوم هندي بيش از علوم تمام ممالک ديگر که تا کنون از ايشان سخن گفتيم در خدمت مذهب بود و شامل بعضي مقدمات علم طب يعني همانقدر که براي ساختن مشروبات مقدس کفايت مي‌ کرد و مختصري از علوم نجوم يعني درست همان اندازه که براي تشکيل تقاويم مذهبي مورد نياز است و اندکي هندسه، مرکب از بعضي طرق عملي که براي ساختن مسجد و محراب لازم است بيش نبود.
    در نخستين قرون تاريخ چهار رياضي ‌دان مشهور در اين کشور وجود داشت که عبارت بودند از: آپاستامبا(قرن پنجم)، آرياب هاتا(قرن ششم)، براهماگوپتا (قرن هفتم) و بهاسکارا(قرن نهم) که در کتب ايشان بخصوص قواعد تناسب ساده و ربح مرکب مشاهده مي‌ شود. محاسبات در اين کتاب ها جنبه شاعرانه داشت و حتي نام علم حسابرا«ليلاواتي» گذارده بودند که معني دلبري و افسونگري دارد! با شروع قرن دهم پيشرفت کشفيات رياضي در هندوستان نيز متوقف گرديد و مشعل فروزان علم بدست اعراب افتاد. در سال(622م) که حضرت محمد(ص) از مکه هجرت فرمود در واقع آغاز شگفتي تمدن اسلام بود. اعراب که جنبش شديد خود را از سدة هفتم آغاز کرده بودند پس از رحلت پيغمبر اسلام در 632 به توسعه سرزمين هاي خود پرداختند و بزودي تمام ممالک آفريقائي ساحل مديترانه را متصرف شدند و اين توسعه ‌طلبي ايشان را در اروپاتا اسپانيا و در آسيا تا هندوستان کشانيد و در نتيجه تماس با کشورهاي مغلوب که مردم آن ها غالباً داراي تمدن عالي بودند ذوق شديدي به آموختن در ايشان بوجود آمد. لذا با سهولت و چالاکي فرهنگ ممالک دست نشانده را پذيرفتند. در زمان مامون خليفه عباسي تمدن اسلام بحد اعتلاي خود رسيد بطوري که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن يازدهم زبان عربي علمي بين ‌المللي گرديد. از رياضي‌ دانان بزرگ اسلامي يکي خوارزمي مي‌ باشد که در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغداد کتاب مشهورالجبر و المقابله را نگاشت. وي در اين کتاب بدون آن که از حروف و علامات استفاده کند، حل معادله درجه اول را بدو طريقي که ما امروزه جمع جبري جمل و نقل آن ها از يکطرف بطرف ديگر مي ‌ناميم، انجام داده است. ديگر ابوالوفا(998_ 938) است که جداول مثلثاتي ذي قيمتي پديد آورده و بالاخره محمدبن هيثم(1039_ 965) معروف به الحسن را بايد نام برد که صاحب تأليفات بسياري در رياضيات و نجوم است.
     
  4. M.G.Captain

    M.G.Captain تو ای خاتون من ؛تن خسته مرا دریاب M&A عضو کادر مدیریت مدیر ارشد

    10,776
    29,242
    164,452
    دانش رياضي در چه زماني و توسط چه کساني متولد شد؟
    تاريخ را معمولا غربي ها نوشته اند، و تا آن جا که توانسته اند آن را به نفع خود مصادره کرده اند. بنابراين نمي توان انتظار داشت نوادگان اروپائياني که سياهان آفريقا را در حد يک حيوان پائين آورده و آن ها را به بردگي کشانده اند، آن ها را انسان هائي با سوابق کهن تاريخي و علمي معرفي نمايند. البته اين کلام مصداق کلي ندارد، و فقط اشاره به جريان حاکم در تاريخ نگاري غربي ها دارد. اگر به تاريخ آفريقا نگاه کنيم،
    قديمي ترين شئ رياضي از 35000 سال پيش از ميلاد در سوازيلند کشف شده. قديمي ترين مثال حساب از 6000 سال پيش از ميلاد در زئير کشف شده. هرم عظيم گيزا که يک شاهکار مهندسي است، حوالي سال 2650 پيش از ميلاد در مصر ساخته شده. پاپيروس مصري 4000 ساله معروف به مسکو، حاوي مطالبي از هندسه است.
    لازم به اشاره است که، يونانيان نيز مباني رياضي را از بابليان به ارث برده‌اند. رياضيات مدون در حدود 2000 سال قبل از ميلاد مسيح، توسط بابليان بوجود آمد. در آن زمان بابليان نتايج جبر مقدماتي را يک جا جمع کردند. اما رياضيات به مفهوم واقعي و امروزي آن، در سرزمين يونان و در قرن هاي 4 و 5 قبل از ميلاد ايجاد شد. به تدريج توسعه يافت، اوج رشد آن در قرن 17 با بوجود آمدن هندسه تحليلي و حساب ديفرانسيل و انتگرال بود. اما در قرن 19 تجديد نظر کلي و پيشرفت هاي فراوان در اين علم بوجود آمد.
     
    Admin از این پست تشکر کرده است.
  5. M.G.Captain

    M.G.Captain تو ای خاتون من ؛تن خسته مرا دریاب M&A عضو کادر مدیریت مدیر ارشد

    10,776
    29,242
    164,452
    هندسه
    در قرن نوزدهم دو رياضيدان بزرگ به نام«لباچفسكى» و«ريمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سيطره اقليدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقليدس يگانه نظامى است كه امكان پذير است. اين نظام بى چون و چرا توصيفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقليدسى مدلى براى ساختار نظريه هاى علمى بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروى مى كردند. هندسه اقليدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضاياى هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقليدس مى گويد: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.» هندسه«لباچفسكى» و هندسه«ريمانى» اين اصل موضوعه پنجم را مورد ترديد قرار دادند. در هندسه«ريمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه«لباچفسكى» ممكن است بيش از يك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت اين دو هندسه منحنى وار هستند. بدين معنا كه كوتاه ترين فاصله بين دو نقطه يك منحنى است. هندسه اقليدسى فضايى را مفروض مى گيرد كه هيچ گونه خميدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ريمانى اين خميدگى را مفروض مى گيرند. (مانند سطح يك كره) هم چنين در هندسه هاى نااقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نيست.(در هندسه اقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است) ظهور اين هندسه هاى عجيب و غريب براى رياضي دانان جالب توجه بود اما اهميت آن ها وقتى روشن شد كه نسبيت عام اينشتين توسط بيشتر فيزيك دانان به عنوان جايگزينى براى نظريه نيوتن از مكان، زمان و گرانش پذيرفته شد.
    چون صورت بندى نسبيت عام اينشتين مبتنى بر هندسه«ريمانى» است. در اين نظريه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است. نظريه نسبيت خاص اينشتين تمايز آشكارى ميان رياضيات محض و رياضيات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سيستم هاى رياضى مختلف است كه به وسيله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصيف شده اند. برخى از آن ها چند بعدى و يا حتى n بعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هيچ ربطى با جهان مادى ندارد يعنى فقط به روابط مفاهيم رياضى با همديگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد رياضيات در واقعيت است. هندسه كاربردى به وسيله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهيم انتزاعى برحسب عناصرى تفسير مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظريه نسبيت، تفسيرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اينشتين براى تبيين حركت نور از هندسه نااقليدسى استفاده كرد. بدين منظور هندسه«ريمانى» را برگزيد. هندسه اقليدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در يك صفحه طرح ريزى شده است اما در عالم واقع يك چنين خط هاى راستى وجود ندارد. اينشتين معتقد بود امور واقع هندسه ريمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر ميدان هاى گرانشى خميده شده و به صورت منحنى در مى آيد يعنى سير نور مستقيم نيست بلكه به صورت منحنى ها و دايره هاى عظيمى است كه سطح كرات آن ها را پديد آورده اند. نور به سبب ميدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پديد مى آيد خط سيرى منحنى دارد. بر اساس نسبيت عام نور در راستاى كوتاه ترين خطوط بين نقاط حركت مى كند اما گاهى اين خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود. در نظريه نسبيت عام گرانش يك نيرو نيست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشيا اطلاق مى كنيم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقليدسى است و شايد نظريه نسبيت عام بهترين راهنمايى باشد كه ما با آن مى توانيم اشيا را مشاهده كنيم. اما مدافعين هندسه اقليدسى معتقد بودند كه به وسيله آزمايش نمى توان تصميم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقليدسى است يا نااقليدسى. چون مى توان نيروهايى به سيستم مبتنى بر هندسه اقليدسى اضافه كرد به طورى كه شبيه اثرات ساختار نااقليدسى باشد.
     
  6. M.G.Captain

    M.G.Captain تو ای خاتون من ؛تن خسته مرا دریاب M&A عضو کادر مدیریت مدیر ارشد

    10,776
    29,242
    164,452
    نيروهايى كه اندازه گيرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغيير دهند كه پديده هايى سازگار با زمان - مكان خميده به وجود آيد. اين نظريه به«قراردادگرايى» مشهور است كه نخستين بار از طرف رياضيدان و فيزيكدان فرانسوى«هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظريه هايى كه بدين طريق به دست مى آوريم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلايل كافى براى رد آن ها وجود دارد؟ علومي كه از يونان باستان توسط انديشمندان اسلامي محافظت و تكميل شد، از قرون يازدهم ميلادي به بعد به اروپا منتقل شد، بيشتر شامل رياضي و فلسفه ي طبيعي بود. فلسفه ي طبيعي توسط كوپرنيك، برونو، كپلر و گاليله به چالش كشيده شد و از آن ميان فيزيك نيوتني بيرون آمد. چون كليسا خود را مدافع فلسفه طبيعي يونان مي دانست و كنكاش در آن با خطرات زيادي همراه بود، انديشمندان كنجكاو بيشتر به رياضيات مي پرداختند، زيرا كليسا نسبت به آن حساسيت نشان نمي داد. بنابراين رياضيات نسبت به فيزيك از پيشرفت بيشتري برخوردار بود. يكي از شاخه هاي مهم رياضيات هندسه بود كه آن هم در هندسه ي اقليدسي خلاصه مي شد. در هندسه ي اقليدسي يكسري مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي كردند. اما اصل پنجم چندان بديهي به نظر نمي رسيد. بنابر اصل پنجم اقليدس از يك نقطه خارج از يك خط، يك خط و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد. برخي از رياضيدانان مدعي بودند كه اين اصل را مي توان به عنوان يك قضيه ثابت كرد. در اين راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي كردند و نتيجه نگرفتند. خيام ضمن جستجوي راهي براي اثبات"اصل توازي" مبتكر مفهوم عميقي در هندسه شد. در تلاش براي اثبات اين اصل، خيام گزاره هايي را بيان كرد كه كاملا مطابق گزاره هايي بود كه چند قرن بعد توسط واليس و ساكري رياضيدانان اروپايي بيان شد و راه را براي ظهور هندسه هاي نااقليدسي در قرن نوزدهم هموار كرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولي متفاوت با آن بيان كردند و هندسه هاي نااقليدسي شكل گرفت. بدين ترتيب علاوه بر فلسفه ي طبيعي رياضيات نيز از انحصار يوناني خارج و در مسيري جديد قرار گرفت و آزاد انديشي در رياضيات آغاز گرديد.
     
  7. M.G.Captain

    M.G.Captain تو ای خاتون من ؛تن خسته مرا دریاب M&A عضو کادر مدیریت مدیر ارشد

    10,776
    29,242
    164,452
    اصطلاحات بنيادي رياضيات
    طي قرن هاي متمادي رياضي دانان اشياء و موضوع هاي مورد مطلعه ي خود از قبيل نقطه و خط و عدد را هم چون كميت هايي در نظر مي گرفتند كه در نفس خويش وجود دارند. اين موجودات همواره همه ي كوشش هاي را كه براي تعريف و توصيف شايسته ي آنان انجام مي شد را با شكست مواجه مي ساختند. بتدريج اين نكته بر رياضي دانان قرن نوزدهم آشكار گرديد كه تعيين مفهوم اين موجودات نمي تواند در داخل رياضيات معنايي داشته باشد. حتي اگر اصولاً داراي معنايي باشند. بنابراين، اين كه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم رياضي نه قابل بحث است و نه احتياجي به اين بحث هست. يك وقت براتراند راسل گفته بود كه رياضيات موضوعي است كه در آن نه مي دانيم از چه سخن مي گوييم و نه مي دانيم آن چه كه مي گوييم درست است. دليل آن اين است كه برخي از اصطلاحات اوليه نظير نقطه، خط و صفحه تعريف نشده اند و ممكن است به جاي آن ها اصطلاحات ديگري بگذاريم بي آن كه در درستي نتايج تاثيري داشته باشد. مثلاً مي توانيم به جاي آن كه بگوييم دو نقطه فقط يك خط را مشخص مي كند، مي توانيم بگوييم دو آلفا يك بتا را مشخص مي كند. با وجود تغييري كه در اصطلاحات داديم، باز هم اثبات همه ي قضاياي ما معتبر خواهد ماند، زيرا كه دليل هاي درست به شكل نمودار بسته نيستند، بلكه فقط به اصول موضوع كه وضع شده اند و قواعد منطق بستگي دارند. بنابراين، رياضيات تمريني است كاملاً صوري براي استخراج برخي نتايج از بعضي مقدمات صوري. رياضيات احكامي مي سازند به صورت هرگاه چنين باشد، آن گاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتي از معني فرض ها يا راست بودن آن ها نيست. اين ديدگاه (صوري گرايي) با عقيده ي كهن تري كه رياضيات را حقيقت محض مي پنداشت و كشف هندسه هاي نااقليدسي بناي آن را درهم ريخت، جدايي اساسي دارد. اين كشف اثر آزادي بخشي بر رياضيدانان داشت.
     
  8. M.G.Captain

    M.G.Captain تو ای خاتون من ؛تن خسته مرا دریاب M&A عضو کادر مدیریت مدیر ارشد

    10,776
    29,242
    164,452
    اشكالات وارد بر هندسه اقليدسي
    هندسه ي اقليدسي بر اساس پنچ اصل موضوع زير شكل گرفت:
    اصل اول: از هر نقطه مي توان خط مستقيمي به هر نقطه ي ديگر كشيد.
    اصل دوم: هر پاره خط مستقيم را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
    اصل سوم: مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم كرد.
    اصل چهارم: همه ي زواياي قائمه با هم مساوي اند.
    اصل پنجم: از يك نقطه خارج يك خط، يك خط و و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد. اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود. در واقع اين اصل بيشتر به يك قضيه شباهت داشت تا به يك اصل. بنابراين طبيعي بود كه لزوم واقعي آن به عنوان يك اصل مورد سئوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور مي شد كه شايد بتوان آن را به عنوان يك قضيه نه اصل از ساير اصول استخراج كرد، يا حداقل به جاي آن مي توان معادل قابل قبول تري قرار داد. در طول تاريخ رياضي دانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فوركوش بويوئي و ... تلاش كردند اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرند و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند. اما تمام تلاش ها بي نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي شدند و به نوعي همين اصل را در اثباط خود به كار مي بردند. دلامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد. يانوش بويوئي يكي از رياضيدانان جواني بود كه در اين را تلاش مي كرد. پدر وي نيز رياضيداني بود كه سال ها در اين اين مسير تلاش كرده بود. و طي نامه اي به پسرش نوشت: تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازي ها تلاش كني، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر مي شناسم. اين شب بي پايان همه روشنايي و شادماني زندگي مرا به كام نابودي فرو برده است، التماس مي كنم دانش موازي ها را رها كني. ولي يانوش جوان از اخطار پدر نهراسيد، زيرا كه انديشه ي كاملاً تازه اي را در سر مي پروراند. او فرض كرد نقيض اصل توازي اقليدس، حكم بي معني اي نيست. وي در سال 1823 پدرش را محرمانه در جريان كشف خود قرار داد و در سال 1831 اكتشافات خود را به صورت ضميمه در كتاب تنتامن پدرش منتشر كرد و نسخه اي از آن را براي گائوس فرستاد. بعد معلوم شد كه گائوس خود مستقلاً آن را كشف كرده است. بعدها مشخص شد كه لباچفسكي در سال 1829 كشفيات خود را در باره هندسه نااقليدسي در بولتن كازان، دو سال قبل از بوئي منتشر كرده است. و بدين ترتيب كشف هندسه هاي نااقليدسي به نام بويوئي و لباچفسكي ثبت گرديد.
     
  9. M.G.Captain

    M.G.Captain تو ای خاتون من ؛تن خسته مرا دریاب M&A عضو کادر مدیریت مدیر ارشد

    10,776
    29,242
    164,452
    هندسه هاي نا اقليدسي
    اساساً هندسه نااقليدسي چيست؟ هر هندسه اي غير از اقليدسي را نا اقليدسي مي نامند. از اين گونه هندسه ها تا به حال زياد شناخته شده است. اختلاف بين هندسه هاي نا اقليدسي و اقليدسي تنها در اصل توازي است. در هندسه اقليدسي به ازاي هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن يك خط مي توان موازي با آن رسم كرد. نقيض اين اصل را به دو صورت مي توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازي كه از يك نقطه نا واقع بر آن، مي توان رسم كرد، بيش از يكي است. و يا اصلاً خطوط موازي وجود ندارند. با توجه به اين دو نقيض، هندسه هاي نا اقليدسي را مي توان به دو گروه تقسيم كرد.
    1- هندسه هاي هذلولي: هندسه هاي هذلولي توسط بويوئي و لباچفسكي بطور مستقل و هم زمان كشف گرديد. اصل توازي هندسه هذلولي - از يك خط و يك نقطه ي نا واقع بر آن دست كم دو خط موازي با خط مفروض مي توان رسم كرد.
    2- هندسه هاي بيضوي: در سال 1854 فريدريش برنهارد ريمان نشان داد كه اگر نا متناهي بودن خط مستقيم كنار گذاشته شود و صرفاً بي كرانگي آن مورد پذيرش واقع شود، آن گاه با چند جرح و تعديل جزئي اصول موضوعه ديگر، هندسه سازگار نااقليدسي ديگري را مي توان به دست آورد. پس از اين تغييرات اصل توازي هندسه بيضوي بصورت زير ارائه گرديد. اصل توازي هندسه بيضوي - از يك نقطه ناواقع بر يك خط نمي توان خطي به موازات خط مفروض رسم كرد. يعني در هندسه بيضوي، خطوط موازي وجود ندارد. با تجسم سطح يك كره مي توان سطحي شبيه سطح بيضوي در نظر گرفت. اين سطح كروي را مشابه يك صفحه در نظر مي گيرند. در اين جا خطوط با دايره هاي عظميه كره نمايش داده مي شوند. بنابراين خط ژئودزيك يا مساحتي در هندسه بيضوي بخشي از يك دايره عظيمه است. در هندسه بيضوي مجموع زواياي يك مثلث بيشتر از 180 درجه است. در هندسه بيضوي با حركت از يك نقطه و پيمودن يك خط مستقيم در آن صفحه، مي توان به نقطه ي اول باز گشت. هم چنين مي توان ديد كه در هندسه بيضوي نسبت محيط يك دايره به قطر آن همواره كمتر از عدد پي است.
     
  10. M.G.Captain

    M.G.Captain تو ای خاتون من ؛تن خسته مرا دریاب M&A عضو کادر مدیریت مدیر ارشد

    10,776
    29,242
    164,452
    انحناي سطح يا انحناي گائوسي
    اگر خط را راست فرض كنيم نه خميده، چنان چه ناگزير باشيم يك انحناي عددي k به خطي نسبت دهيم براي خط راست خواهيم داشت k=o انحناي يك دايره به شعاع r برابر است با k=1/r. تعريف مي كنند. هم چنين منحني هموار، منحني اي است كه مماس بر هر نقطه اش به بطور پيوسته تغيير كند. به عبارت ديگر منحني هموار يعني در تمام نقاطش مشتق پذير باشد. براي به دست آوردن انحناي يك منحني در يك نقطه، دايره بوسان آنرا در آن نقطه رسم كرده، انحناي منحني در آن نقطه برابر با انحناي دايره ي بوسان در آن نقطه است. دايره بوسان در يك نقطه از منحني، دايره اي است كه در آن نقطه با منحني بيشترين تماس را دارد. توجه شود كه براي خط راست شعاع دايره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بي نهايت است. براي تعيين انحناي يك سطح در يك نقطه، دو خط متقاطع مساحتي در دو جهت اصلي در آن نقطه انتخاب كرده و انحناي اين دو خط را در آن نقاط تعيين مي كنيم. فرض كنيم انحناي اين دو خط k1=1/R1 and k2=1/R2 باشند. آن گاه انحناي سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب اين دو انحنا، يعني: k=1/R1R2 انحناي صفحه ي اقليدسي صفر است. هم چنين انحناي استوانه صفر است: =o براي سطح هذلولي همواره انحناي سطح منفي است: k براي سطح بيضوي همواره انحنا مثبت است: k>o. سئوال اساسي اين است كه كدام يك از اين هندسه هاي اقليدسي يا نا اقليدسي درست است؟ پاسخ صريح و روشن اين است كه بايد انحناي يك سطح را تعيين كنيم تا مشخص شود كدام يك درست است. بهترين دانشي كه مي تواند در شناخت نوع هندسه ي يك سطح مورد استفاده و استناد قرار گيرد، فيزيك است. يك صفحه ي كاغذ برداريد و در روي آن دو خط متقاطع رسم كنيد. سپس انحناي اين خطوط را در آن نقطه تعيين كرده و با توجه به تعريف انحناي سطح حاصلضرب آن را به دست مي آوريم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقليدسي است، اگر منفي شد مي گوييم صفحه هذلولي است و در صورتي كه مثبت شود، ادعا مي كنيم كه صفحه بيضوي است.
    در كارهاي معمولي مهندسي نظير ايجاد ساختمان يا ساختن يك سد بر روي رودخانه، انحناي سطح مورد نظر برابر صفر است، به همين دليل در طول تلريخ مهندسين همواره از هندسه اقليدسي استفاده كرده اند و با هيچ گونه مشكلي هم مواجه نشدند. يا براي نقشه برداري از سطح يك كشور اصول هندسه ي اقليدسي را بكار مي برند و فراز و نشيب نقاط مختلف آن را مشخص مي كنند. در اين محاسبات ما مي توانيم از خطكش هايي كه در آزمايشگاه يا كارخانه ها ساخته مي شود، استفاده كنيم. حال سئوال اين است كه اگر خط كش مورد استفاده ي ما تحت تاثير شرايط محيطي قرار بگيرد چه بايد كرد؟ اما مي دانيم از هر ماده اي كه براي ساختن خطكش استفاده كنيم، شرايط فيزيكي محيط بر روي آن اثر مي گذارد. البته با توجه با تاثير محيط بر روي خط كش ما تلاش مي كنيم از بهترين ماده ي ممكن استفاده كنيم. به همين دليل چوب از لاستيك بهتر است و آهن بهتر از چوب است. اما براي مصافت هاي دور نظير فواصل نجومي از چه خط كشي(متري) مي توانيم استفاده كنيم؟ طبيعي است كه در اينجا هيچ خط كشي وجود ندارد كه بتوانيم با استفاده از آن فاصله ي بين زمين و ماه يا ستارگان را اندازه بگيريم. بنابراين بايد به ساير امكاناتي توجه كنيم كه در عمل قابل استفاده است. اما در اين جا چه امكاناتي داريم؟ بهترين ابزار شناخته شده امواج الكترو مغناطيسي است. اگر مسير نور در فضا خط مستقيم باشد، در اين صورت با جرأت مي توانيم ادعا كنيم كه فضا اقليدسي است. براي پي بردن به نوع انحناي فضا بايد مسير پرتو نوري را مورد بررسي قرار دهيم. اما تجربه نشان مي دهد كه مسير نور هنگام عبور از كنار ماده يعني زماني كه از يك ميدان گرانشي عبور مي كند، خط مستقيم نيست، بلكه منحني است. بنابراين فضاي اطراف اجسام اقليدسي نيست. به عبارت ديگر ساختار هندسي فضا نااقليدسي است.